Ekstrema dwóch zmiennych byk: Ekstrema dwóch zmiennych Poproszę o sprawdzenie czy jest dobrze f(x,y) = (x+y)² − (x + 5y + xy)

df
	= 2(x+y) −1 − y = 2x + y − 1
dx

df
	= 2(x+y) − 5 − x = 2y + x − 5
dy

⎧	2x+y−1=0
⎩	2y+x−5=0

⎧	x = −1
⎩	y=3

d2
	= 2
dx2

d2
	= 2
dy2

d2
	= 1
dxdy

d2
	= 1
dydx

W = |2 1| = 3 |1 2| W>0 zatem funkcja ma minimum lokalne w punkcie P(−1,3) f_min = − 5

Basia: wszystko dobrze tylko podsumowanie trzeba troszeczkę poprawić W>0 ⇒ funkcja ma ekstremum lokalne w p−cie P(−1;3)

df
	>0 ⇒ jest to minimum
dx2

byk: ale f_min wciąż wynosi −5? czy czegoś tu nie rozumiem

Basia: chodzi o to, że fakt iż hesjan W>0 mówi tylko tyle, że mamy jakieś ekstremum, ale nie on decyduje o tym jakie

	df
o tym czy to jest minimum czy maksimum decyduje
	dx2

	df
u Ciebie		= 2 > 0 czyli masz minimum
	dx2

natomiast f_min = f(−1,3) = (−1+3)² − (−1 + 5*3 + (−1)*3) = 4 − (−1+15−3) = 4 −9 = −5 masz policzone dobrze

byk: ok dzięki za wyjaśnienie

byk: Jeszcze jeden przykład do sprawdzenia jeśli można f(x,y) = 2x³ + xy² + 5x² + y²

df
	= 6x2 + y2 + 10x
dx

df
	= 2xy + 2y
dy

⎧	6x2 + y2 + 10x = 0
⎩	2xy+2y=0

otrzymuje rozwiązania

⎧	x1 = 0
⎩	y1=0

⎧	x2 = −53
⎩	y2 = 0

⎧	x3 = −1
⎩	y3 = 2

⎧	x4 = −1
⎩	y4 = −2

Czyli mam 4 punkty P₁(0,0); P₂(−⁵₃, 0); P₃(−1,2); P₄(−1, −2)

d2 f
	= 12x+10
dx2

d2 f
	= 2x+2
dy2

d2 f
	= 2y
dxdy

d2 f
	= 2y
dydx

W(P₁) = 0 − nie można stwierdzić czy są ekstrema

	40
W(P2) =		− punkt, w którym jest ekstremum
	3

W(P₃) = − 20 − brak ekstremum W(P₄) = −20 − brak ekstremum

	d2 f
w P2		= −20 < 0 − czyli mam maksimum
	dx2

	125
fmax = −
	9

Artur_z_miasta_Neptuna: niby dlaczego W(P₁) = 0? A nie 10*2 − 0*0 = 20>0

Artur_z_miasta_Neptuna: W(P₃) źle wyliczone (ale i tak wyjdzie ujemne) powinno byc −2*0 − 4*4 = −16 tak samo W(P₄)

byk: Aha, czyli w P₁ będzie minimum, a w P₂ maksimum?

Artur_z_miasta_Neptuna: yyyyy ... tak

byk: dzięki Ci